ALGUNAS NOTAS SOBRE EL CÁLCULO INFINITESIMAL Y UNAS APLICACIONES – Asociación de Estudiantes de Guinea Ecuatorial

La primera vez que se me presentó el cálculo infinitesimal fue en el instituto, específicamente en
primero de bachillerato. Empezamos viendo límites y de repente, en los dos últimos meses del curso
acabamos en derivadas. Luego, en segundo de bachillerato, tras varios meses dando algebra,
arrancamos con integrales a todo gas, con el miedo de que la selectividad nos pillara sin saber
integrar. Ni se nos explicó para qué servían ni qué eran realmente esos dos cálculos, como mucho,
recuerdo que el profesor Juan Sima, nos habrá dicho de forma rápida y sin darle importancia alguna,
que las integrales servían para calcular las áreas que se formaban debajo de las curvas, y nada más.
Debido a esas prisas, muchos no supieron integrar, lo que les obligó a optar por otras asignaturas en la
fase específica de la selectividad y consecuentemente a estudiar carreras en las que se integre o se
derive lo menos posible.

En el instituto, me acuerdo que formamos un grupo de poetas, nos hicimos llamar la generación del 14, era un grupo formado por siete u ocho compañeros, incluso hubo un integrante de un curso inferior que el nuestro. Escribíamos poesía, textos cortos, reflexiones. Queríamos ser como los poetas cuya historia se nos presentaba en clase. Pienso, que el hecho de que se nos obligara a memorizar la vida y obra de cada uno de los poetas, nos ayudó a comprenderles, a sentirles y finalmente a querer imitarles. A muchos nos llamó la atención la historia de los integrantes de las generaciones del 27 y del 98, a mi específicamente me gustó Rafael Alberti. De ahí el nombre de nuestro grupo. Recuerdo también, que muchos se autoproclamaron filósofos, seguro que fue por la atracción que sintieron hacia los filósofos que estudiábamos, igualmente era obligatorio memorizar sus vidas y obras, aunque en realidad eran resúmenes de sus vidas y obras.

Lo que quiero destacar aquí es la importancia de la historia. Todos tenemos una historia, y aquellos que la conocen, nos conocen mejor. En ese sentido, las asignaturas no son una excepción, todas tienen su historia, pero por desgracia, sólo nos presentan la historia de algunas obviando las de las otras y así, tristemente acabamos el bachillerato o el instituto sin saber muy bien para que sirven las matemáticas, y lo peor es que creamos una fobia hacia ellas que luego nos acompaña hasta el resto de nuestras vidas. En matemáticas, a diferencia de algunas otras ramas del conocimiento, para dar un paso hacia delante se empieza con un problema y la resolución del problema es lo que se llama aportación o avance. Así como las crecidas del río Nilo supusieron un problema en cuanto a la posterior redistribución de las tierras, y la búsqueda de formas de intercambiar bienes y servicios de forma justa, dieron lugar a la aritmética. El cálculo de las derivadas y de las integrales tuvo su problema inicial que no empezó ni acabó ni con Newton ni con Leibniz, como muestran algunos textos, pero tuvieron un papel decisivo en el proceso. Antes de mencionar los dos problemas fundamentales que parieron (si se me permite la expresión) el cálculo infinitesimal, me gustaría comentar que, es la herramienta más potente creada hasta hoy en ciencias en general y en matemáticas en particular, algo muy importante a resaltar es que, durante su evolución, aquellos que se ocuparon e hicieron aportaciones importantes, no eran matemáticos de profesión, algunos eran abogados, diplomáticos, otros filósofos, teólogos, en definitiva, simples aficionados. Eso nos hace ver que las matemáticas no son tan complicadas como creemos. Ya que esos se dedicaban a las matemáticas como hobby.

Los dos problemas que podemos tomar como punto de partida para hablar del cálculo infinitesimal son:

1. El problema de las tangentes, es decir, dada una curva, cómo podemos determinar sus tangentes.

2. El problema de las cuadraturas, es decir, cómo determinar el área encerrada bajo una curva dada.

Si no nos retrocedemos tanto en el tiempo, podríamos decir que la historia real del cálculo infinitesimal empieza con Pierre de Fermat (1601-1665), jurista de profesión y parlamentario hasta su muerte. Ese político, hizo aportaciones decisivas incluso de carácter ontológico en las matemáticas del siglo xvii, específicamente en el campo de la geometría analítica y cálculo diferencial, tuvo fama de un problem solver.

En su intento de querer reconstruir la obra de Apolonio sobre lugares planos, Fermat inicio una tarea que cristalizaría en varios logros, así, en su obra Ad locos planos et solidos isagoge, identifica un lugar geométrico, una curva con una ecuación algebraica en dos variables, así, afirma que <>. Fermat demuestra de este modo que, ante una ecuación lineal de tipo Ax+By+C=0 se nos presenta una recta en el espacio, ante una del tipo 𝑥 2 + 𝐵 2 = 𝐴𝑦 2 una hipérbolas, las del tipo 𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 = 𝐵 2 , describían eclipses o circunferencias. Finalmente, Fermat demostró la reducción de una ecuación cuadrática general a los casos anteriores.

La segunda figura importante en la juventud del cálculo infinitesimal fue René Descartes, filósofo, considerado como padre de la filosofía moderna y del racionalismo. Autor del <>. Descartes conoció las obras de Fermat mediante el circulo de Mersenne, un grupo formado en París por el sacerdote, teólogo y matemático Marín Mersenne (1588-1648), que integraba a matemáticos y científicos en general.

Descartes se propuso resolver problemas geométricos tomando como método el razonamiento algebraico, enfatizando más en la construcción geométrica de las soluciones de una ecuación. La mayor aportación de Descartes, sin duda, fue el desarrollo de la geometría analítica, cosa que le malquistó con Fermat, ése último se autoconsideraba padre de la geometría atribuida a Descartes, pero Descartes destacaría por su método y su notación intuitiva. La notación 𝑎2, 𝑏5 … para representar potencias de números se la debemos a él.

Estos dos tuvieron gente que les inspiró, por razones de brevedad no hemos sido muy detallistas, pero cabe mencionar que Arquímedes fue pionero en usar infinitésimos en el cálculo de las áreas. Pero, el cálculo simbólico junto a la geometría analítica de Descartes constituye el punto de inicio que luego conduciría al planteamiento del problema del cálculo infinitesimal.

Otra figura destacable en el transcurso de la vida del cálculo infinitesimal fue John Wallis, uno de los fundadores de la Royal Society. Wallis, transformó el cálculo de áreas en un cálculo aritmético, lo que dio paso a la idea de límite, que después de Newton, usaran Bernhard Bolzano (1781-1848), sacerdote, profesor de religión y matemático por afición, y Augustin Cauchy (1789-1857), ingeniero militar de Napoleón y profesor de la Sorbona. Para darle forma al cálculo infinitesimal, los métodos aritméticos de Wallis influirán luego en Newton, el mismo Newton, afirmó que tanto el desarrollo de su binomio como otras ideas sobre el cálculo infinitesimal, tuvieron lugar tras leer el libro de Wallis cuando era estudiante en Cambridge.

No se puede obviar la figura de Newton de ninguna manera si de cálculo infinitesimal e integral se trata, fueron decisivos sus aportes, y quizá por esta razón en varios libros aparece como el único personaje del corpus de ésta herramienta matemática.

La primera obra de Newton relacionada con el cálculo infinitesimal se titula De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, la finalizó el 1669, aunque no la publicó, la segunda obra y la más importante es De methodis serierum et flxionum, fue escrita en 1671, tampoco la publicó hasta 1736, en ella, Newton aplica el cálculo infinitesimal para resolver una gran variedad de problemas relacionados con el cálculo de áreas, tangentes, etc., que mantuvieron ocupados a sus antecesores. El gran mérito de Newton en la historia del cálculo infinitesimal fue la mejora y unificación en su
método de las fluxiones los métodos elaborados por sus antecesores en el cálculo de las tangentes. Estableció reglas para el cálculo de las tangentes, lo que viene a ser las reglas para calcular derivadas. Otro aspecto importante fue el cálculo de las curvas conociendo alguna propiedad que posean sus
tangentes, lo que viene a ser el cálculo de las integrales.

Como ya se ha podido detectar, Newton no publicaba sus obras a tiempo, incluso algunas fueron publicadas oficialmente tras su muerte, lo cual le malquistó con algunos de sus contemporáneos, sin embargo, el nivel de Newton en lo que a la ciencia se refiere, solo es comparable con el de Arquímedes, Darwin o Einstein. Ese gran respeto se debe a sus obras: Principia, Opticks y sus tratados del cálculo infinitesimal.

Dado que Newton no publicaba sus resultados, los problemas que le mantenían ocupado, mantenían ocupados a otros, así, otros obtuvieron soluciones a esos problemas de forma paralela y sin tener conocimiento de su obra. Y este fue el caso de Gottfried Leibniz (1646-1716), jurista de profesión, filósofo, teólogo, lógico y matemático por afición, es considerado maestro de todos los oficios por sus varias aportaciones. Leibniz es considerado por muchos como uno de los más poderosos espíritus de la civilización occidental, se cuenta que le denegaron el acceso a un doctorado por ser excesivamente joven.

No conoció las matemáticas hasta los veintitantos, se cuenta que cuando llegó a Paris, con veinte seis años, sólo conocía superficialmente el libro de los Elementos de Euclides, él mismo diría más tarde que su introducción a las matemáticas avanzadas se las debía al físico Christian Huygens (1629-1695)
con quien tuvo contacto en otoño del 1672, y le recomendó estudiar a Pascal, Fabri, Gregory, SaintVincent, Descartes y Sluse, también leyó a Mercator y Barrow.

La lectura a Pascal, especialmente de la obra Traité des sinus du quart de circle, le dotará de destrezas en el manejo de lo llamado por él mismo triangulo característico, con la influencia de Sluse, Leibniz conseguirá obtener en 1677 las fórmulas para el cálculo de la diferencial de productos, cocientes, y
potencias, y en 1680 tenía ya completo su propio método de cálculo que publicará en 1684 convirtiéndose así el primer documento publicado oficialmente sobre el cálculo infinitesimal, en 1686 publicará Leibniz su segundo artículo sobre el tema, pero esa vez sobre el cálculo integral , donde aparece por vez primera la notación ʃ, que hoy usamos para simbolizar integral y la d de differetia para simbolizar diferencial, que es igualmente la notación actual para simbolizar derivadas.

En ese segundo artículo, Leibniz hace énfasis en la conexión existente entre la diferenciación y la integración, lo que hoy conocemos como teorema fundamental del cálculo. Publicaría varios artículos más relacionados con el cálculo infinitesimal e integral, un total de 27 según Norberto Cuesta Dutari
(1907-1989), matemático y humanista español.

La enemistad existente entre Newton y Leibniz es quizás la más famosa en el mundo de las matemáticas, la cual le costó a Leibniz su estatus social. Newton le consideraba un segundo inventor, dado que todo lo que Leibniz publicaba él ya lo había descubierto, y consideraba que un segundo inventor no es inventor. Para Newton, las curvas eran algo que él llamaba fluentes, que se generan por el movimiento de un punto, y fluxión, el cambio de fluentes con el paso del tiempo. Para calcular el área formado por una curva, Newton decía que basta calcular una fluente que la tenga por fluxión, lo que viene a ser en el lenguaje actual, aplicar el teorema fundamental del cálculo. Mientras que, para Leibniz, las curvas eran entes poligonales con lados de longitud infinitesimal, y a partir de las conexiones algebraicas explícitas en la fórmula descrita por las curvas, se obtiene el teorema fundamental del cálculo, y es así como Leibniz definió los conceptos de derivada e integral. Leibniz dejó claro que su fuente nunca fue Newton, sino más bien Huygens y Sluse principalmente y es obvio cuando se mira el enfoque que cada uno de ellos le dio al problema.

Si Newton hubiese publicado sus descubrimientos a tiempo, no habría existido tal disputa, sin embargo, él prefería publicarlos en forma de libros, lo cual retrasaba aún más su correspondiente publicación, mientras que Leibniz prefirió publicar sus descubrimientos en forma de artículos, lo que le concedió la delantera en el asunto oficialmente. En definitiva, el mérito de ambos está en que reconocieron el denominador común de los dos problemas arriba mencionados, es decir, usar el teorema fundamental del cálculo.

Dicho eso, ¿qué utilidad tienen las derivadas y las integrales en el mundo real?

Cuando nos enseñan en el instituto la técnica de integración y derivación, trabajamos con funciones que no describen la realidad que vivimos cotidianamente, o, mejor dicho, no nos enseñan a identificarlas. Aprendemos a derivar funciones trigonométricas, funciones tipo 2𝑥2 + 5𝑥, 𝑒5𝑥 𝑒𝑡𝑐.

El tiro parabólico que se suele ver con frecuencia en primero de bachillerato y de forma aislada, es una aplicación clara de las derivadas, pero por desgracia nos solían hablar de cañones, balas etc. Cosas poco familiares, sin embargo, en el fútbol que es algo muy apreciado por muchos, hay mucho cálculo infinitesimal, la trayectoria que describe una pelota que ha sido chutada por un jugador, muchas veces es igual de parabólica que la de un proyectil lanzado por un cañón, y la tasa de cambio de la posición de esta pelota respecto al tiempo no es otra cosa que lo que Newton llamó fluxión, que es lo que llamamos hoy derivada con respecto al tiempo.

Ejemplo:
Si nos piden calcular la probabilidad de que un electrón se encuentre en una caja unidimensional de longitud a, con límites entre 0.31a y 0.35a, describiendo al electrón con la siguiente función de onda:

𝛹(𝑥) = √2/𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥/𝑎)

Basta calcular la integral de esta función. Existen aspectos que no podemos detallar en cuanto a la resolución de esta operación, porque nos saldríamos mucho de nuestro objetivo. Pero, la operación es:

Fuentes:

¿qué es la matemática? Courant robbins

El camino a la realidad, Roger Penrose

Crónicas Matemáticas, una breve historia de la ciencia más antigua y sus personajes, Antonio J. Durán.

Autor: Arturo Ngomo Mba Biyé